De reststelling bij deling door x-a

[Terug naar overzicht hoofdstuk]     [Oefening]

Bij de Euclidische deling van een veelterm door x-a, waarbij a een reëel getal voorstelt, is de rest van de deling gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor x = a! Concreet betekent dit dat we, zonder de deling te maken, de rest van de deling vinden als we op de plaats van x de waarde van a invullen (= reststelling)

Voorbeeld: We willen de rest bepalen van de deling van x⁴ - 2x³ + 5x - 7 door x - 2 zonder deze deling effectief uit te voeren. We bekomen de rest van deze deling door op de plaats van x de waarde 2 in te vullen, aangezien a = 2 (we delen door x-a en in dit voorbeeld is dit x-2).

Als we uitrekenen vinden we 2⁴ - 2.2³ +5.2 - 7 = 16 - 16 + 10 - 7 = 3. De rest van de deling is bijgevolg gelijk aan 3.

Hieruit volgt dat een veelterm deelbaar is door x-a als en slechts als de getalwaarde voor x = a gelijk is aan 0.

Om de eventuele delers van de vorm x-a, waarbij a een reëel getal voorstelt, van een veelterm te vinden en het daarbij passende quotiënt te bepalen, overloop je volgende stappen:

• Bepaal alle delers van de constante term van het deeltal
• Bepaal de getalwaarde van de veelterm voor deze delers
• Als de getalwaarde gelijk is aan nul, heeft de deling door x-a (waarbij a dus een deler voorstelt van de constante term) rest nul
• Pas de regel van Horner toe om quotiënt en rest te bepalen bij deling door x-a (wat je zelf gevonden hebt)