De goniometrische vorm van een complex getal
[Terug naar overzicht hoofdstuk] [Ontdek het hier zelf!] [Oefening] [Oefening: bewerkingen]
Elk complex getal komt overeen met een punt in het platte vlak. Een complex wordt immers volledig bepaald door twee reële getallen. Zo wordt –6+7i bepaald door –6 en 7 waarbij aan het imaginaire getal i is toegevoegd. We kunnen dus zeggen dat –6+7i bepaald wordt door het punt (–6,7). Zo komt 12–8i dan weer overeen met (12,–8),...
Als de punten in het platte vlak complexe getallen voorstellen, spreken we van het complexe vlak of het vlak van Gauss. De x-as is de reële as, terwijl de y-as dienst doet als imaginaire as.
Modulus en argument
De modulus van een complex getal is de afstand van dit complex getal tot de oorsprong van het assenstelsel. Deze kan op verschillende manieren aangeduid worden. De meest gebruikte benaming is 'r'. Om de modulus te berekenen van een complex getal z = a+bi, maken we eerst de som van de kwadraten van a en b en trekken hier vervolgens de vierkantswortel van. Aangezien de modulus een afstand uitdrukt, zal de modulus steeds positief zijn.
Verder beschikt een complex getal ook nog over een argument.
We nemen z = a+bi (met z # 0) als voorbeeld. De hoek die de vector a+bi maakt met het positieve deel van de x-as, noemen we het argument. Dit argument is tot op een veelvoud van 360° bepaald. Belangrijk om weten is dat het argument van 0 niet gedefinieerd is en dat we bij de bepaling van het argument rekening dienen te houden met het kwadrant waarin het complex getal ligt!
Om het argument a te bepalen gebruiken we:
Visuele voorstelling van modulus en argument
De goniometrische vorm van een complex getal
Van reële en imaginaire getallen kunnen we de goniometrische vorm rechtstreeks aflezen!
Voorbeeld 1:
Als we 5i aanduiden in het complexe vlak, lezen we de modulus 5 en het argument 90° rechtstreeks af. Bijgevolg is de goniometrische schrijfwijze van 5i = 5(cos90° + isin90°). Bij negatieve imaginaire getallen is het argument steeds gelijk aan 270°.
Voorbeeld 2:
Als we –4 aanduiden in het complexe vlak, lezen we de modulus 4 en het argument 180° rechtstreeks af. Bijgevolg is de goniometrische schrijfwijze van –4 = 4(cos180°+isin180°). Bij positieve reële getallen is het argument steeds gelijk aan 0°, aangezien deze getallen op het positieve deel van de x-as zelf liggen!
De vier verschillende mogelijkheden om de goniometrische vorm onmiddellijk af te lezen.
| complex getal | modulus | argument | goniometrische vorm |
| 5 | 5 | 0° | 5(cos0° + isin0°) |
| 5i | 5 | 90° | 5(cos90° + isin90°) |
| -5 | 5 | 180° | 5(cos180° + isin180°) |
| -5i | 5 | 270° | 5(cos270° + isin270°) |
Omgekeerd kan een complex in de goniometrische vorm ook omgezet worden in een complex getal van de vorm a + bi.
Voorbeeld:
3(cos90° + isin90°) = 3(0+i.1) = 0 + 3i = 3i
De waarden voor 'cos 90°' en 'sin 90°' kunnen bepaald worden met behulp van de goniometrische cirkel.
Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen in de goniometrische schrijfwijze
Om complexe getallen in de goniometrische vorm te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de moduli en maken we de som van de argumenten.
Voorbeeld van een vermenigvuldiging:
Stel z1 = 3(cos45°+isin45°) en z2 = 5(cos60°+isin60°),
dan is: z1 . z2 = 3(cos45°+isin45°) . 5(cos60°+isin60°) = 15(cos105°+isin105°)
Om complexe getallen in de goniometrische vorm te delen, delen we de moduli en maken we het verschil van de argumenten.
Voorbeeld van een deling:
Stel z1 = 18(cos70°+isin70°) en z2 = 6(cos60°+isin60°),
dan is: z1 : z2 = 18(cos70°+isin70°) : 6(cos60°+isin60°) = 3(cos10°+isin10°)
Verder kunnen we een complex getal in de goniometrische vorm ook tot een bepaalde macht verheffen.