Mijn algemath!



Wie is online?

Momenteel 7 gasten online

Met dank aan:

> Rationaal getal

 

Definitie:

 

Een rationaal getal is een quotiënt (een verhouding) van twee gehele getallen, waarvan het tweede getal verschillend is van nul.

 

Symbool: \mathbb{Q}

 

In decimale vorm kan een rationaal getal een aantal cijfers na de komma bevatten, maar er zal steeds een periode - een terugkerend gedeelte - zijn.

Hieronder bespreken we hoe je een breuk kan omzetten in een decimale vorm én omgekeerd.

 

 

Van breuk naar decimale vorm

 

   -> Breuken met een begrensde decimale vorm

 

Elke onvereenvoudigbare breuk die herleid kan worden tot een breuk waarvan de noemer een macht is van 10, heeft een begrensde decimale vorm.

 

Voorbeelden:

 

 

 

 

Definitie:

 

Een begrensde decimale schrijfwijze noemen we een decimaal getal.

 

 

  -> Breuken met een onbegrensde decimale vorm

 

Elke onvereenvoudigbare breuk die niet herleid kan worden tot een breuk waarvan de noemer een macht is van 10, heeft eenrepeterende decimale vorm.

 

Voorbeelden:

 

 

 

Bij een repeterende decimale vorm volgt (al dan niet onmiddellijk na de komma) een getal dat zich herhaalt. Dit getal wordt de periode genoemd.

 

Repeterende decimale vormen waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint, noemen we zuiver repeterend decimale vormen. Zo is 0,1717... een zuiver repeterend decimale vorm met periode 17.

 

Repeterende decimale vormen waarbij een niet-repeterend deel voorkomt, noemen we gemengd repeterend decimale vormen. Zo is 1,388... een gemengd repeterende decimale vorm met periode 8 en niet-repeterend deel 3.

 

 

 -> Breuken waarvan de noemer een getal is dat geschreven wordt met uitsluitend het cijfer 9

 

Breuken waarvan de noemer een getal is dat geschreven wordt met uitsluitend het cijfer 9 én waarvan de noemer kleiner is dan de teller, hebben een merkwaardige decimale vorm.

 

Voorbeelden:

 

 

 

Een breuk waarvan de noemer 9,99,999,9999,... is en waarvan de teller kleiner is dan de noemer, heeft een repeterende decimale schrijfwijze. De periode bestaat uit evenveel cijfers als de noemer van de breuk en is gelijk aan de teller, eventueel voorafgegaan door een aantal nullen.

 

Besluit:

Elke breuk heeft een decimale schrijfwijze die begrensd is of onbegrensd repeterend!

 

 

Van decimale vorm naar breuk

 

  -> Van een decimaal getal naar een breuk

 

Voorbeeld:We schrijven 6,018 als breuk

 

  • Als teller nemen we het natuurlijk getal gevormd door de cijfers van het decimaal getal, dus 6018

 

  • We nemen vervolgens 1 als noemer en voegen er zoveen nullen aan toe als er staan na de komma in het decimaal getal. Aangezien er drie cijfers staan na de komma, voegen we bij de 1 dus drie nullen toe.

 

 

 

 

  -> Van een zuiver repeterende decimale vorm naar een breuk

 

Omdat in een repeterende decimale vorm oneindig veel cijfers voorkomen na de komma, is het onmogelijk om er nauwkeurig bewerkingen mee uit te voeren! Dit kan echter wel wanneer we deze decimale vormen schrijven als breuken.

 

Om te beginnen bekijken we hoe een repeterende decimale vorm, met een absolute waarde kleiner dan 1, kan omgezet worden in breukvorm.

 

Voorbeeld:We schrijven 0,1717... als breuk

 

  • We nemen de teller als periode, in dit voorbeeld dus 17

 

  • Als noemer nemen we het natuurlijk getal gevormd door zoveel cijfers ‘9’ als er staan in de periode. Aangezien de periode in ons voorbeeld gelijk is aan 17 nemen we dus twee cijfers ‘9’ in de noemer (ofwel 99)

 

  • We vinden als resultaat dat 0,1717... = \frac{{17}}{{99}}, een onvereenvoudigbare breuk.

 

Uit bovenstaande werkwijze kunnen we een methode afleiden voor het omzetten van een zuiver repterende decimale vorm waarvan de absolute waarde groter is dan 1, naar een breuk.

 

Voorbeeld:We schrijven 6,1717... als breuk

 

  • We splitsen het getal in een som zo dat de eerste term het getal is voor de komma en de tweede term een zuiver repeterende decimale vorm waarvan de absolute waarde kleiner is dan 1

 

  • Toegepast op het voorbeeld wordt dit: 6,17171… = 6 + 0,1717..

 

       

 

  -Van een gemengd repeterende decimale vorm naar een breuk

 

Voorbeeld:

 

We schrijven 2,01414... als breuk (merk op dat de periode gelijk is aan 14)

 

  • We vermenigvuldigen de decimale vorm met een veelvoud van 10, zodat de eerste periode net voor de komma staat: 1000 q = 2014,1414…

 

  • We vermenigvuldigen de decimale vorm met een veelvoud van 10, zodat de eerste periode net achter de komma staat: 10 q = 20,1414…

 

  • We trekken nu af:

 

 

> Irrationaal getal

 

Definitie:

 

Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale vorm.

 

In tegenstelling tot bij de rationale getallen, kunnen we bij irrationale getallen dus geen periode terugvinden.

 

Een voorbeeld van een irrationaal getal is \sqrt 2  . Indien we dit getal in de decimale vorm noteren,, vinden we immers 1,414213562...(er is dus geen periode!)

 

 

> Reëel getal

 

Definitie:

Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal en wordt aangeduid door \mathbb{R} 

 

Merk op: Voor de aanduiding van de irrationale getallen bestaat geen eenduidig symbool. Omdat de irrationale getallen alle getallen zijn zonder periode, kan deze verzameling voorgesteld worden door \mathbb{R}/\mathbb{Q}

 

 

> Benaderende waarde

 

Repeterende decimale vormen en irrationele getallen kunnen eigenlijk nooit in decimale vorm uitgedrukt worden, omdat het aantal decimalen onbegrensd is (vandaar de drie puntjes).

 

Telkens we zo'n vorm opschrijven, beperken we het aantal decimalen.

 

We geven het reëel getal dus benaderend weer.

 

Voorbeeld:

 

 

Het derde cijfer na de komma is gelijk aan 1. Om af te ronden op 0,01 nauwkeurig, maken we gebruik van volgende afrondingsregel:

 

-> is de volgende decimaal kleiner dan 5, neem dan de benaderende waarde te klein

 

-> is de volgende decimaal groter dan of gelijk aan 5, neem de benaderende waarde te groot