De Euclidische deling

[Terug naar overzicht hoofdstuk]     [Oefening]

Indien we de Euclidische deling (staartdeling) gebruiken om 26 te delen door 7, vinden we 3 als quotiënt en zien we dat de rest gelijk is aan 5. Het verband tussen deze getallen kan genoteerd worden als

26 = 7 . 3 + 5

of in woorden: deeltal = deler . quotiënt + rest

Nu stellen we ons de vraag hoe we het quotiënt en de rest kunnen bepalen bij een Euclidische deling van veeltermen.

Als voorbeeld delen we de vierterm 2x³ + x² - 5x + 2 door x - 3.

→ We gaan na hoeveel keer de eerste term van de deler (x in dit geval) in de eerste term van het deeltal (2x³) past. Het antwoord hierop is 2x². Deze eenterm noteren we op de plaats waar het quotiënt zal komen.

→ Vervolgens vermenigvuldigen we 2x² met elke term van de deler, dus met x én met 3. Als resultaat vinden we 2x³ - 6x². Dit resultaat schrijven we onder het deeltal en we zorgen ervoor dat alle termen met dezelfde exponent mooi onder elkaar staan (omdat enkel gelijksoortige termen kunnen opgeteld of afgetrokken worden!)

→ We trekken het bekomen product, 2x³ - 6x², af van het deeltal en zien dat de term in x³ wegvalt en dat we 7x² overhouden.

→ Na deze stap laten we de volgende term van het deeltal (–5x) 'zakken' en vragen we ons af hoeveel keer x in 7x² past. Het antwoord hierop is +7x keer. Deze eenterm schrijven we naast de reeds gevonden 2x² op de plaats van het quotiënt. We herhalen de vorige stappen tot we een rest bekomen waarvan de graad kleiner is dan de graad van de deler. Aangezien de deler, x-3, van de eerste graad is, zal de gevonden rest een reëel getal (van de nulde graad) zijn!

→ Nu we het quotiënt en de rest berekend hebben, kunnen we het verband uitdrukken tussen deeltal, deler, quotiënt en rest: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) of 2x³ + x² - 5x + 2 = (x-3) . (2x+7x+16) + 50

Opgelet: Rangschik  deeltal D(x) en deler d(x) eerst naar dalende machten van x en vul de ontbrekende machten in het deeltal aan met de coëfficiënten nul! Indien in het deeltal D(x) de term in bijvoorbeeld x² ontbreekt, laat je best plaats open of voeg je + 0x² toe. Dit wordt gedaan om te voorkomen dat eentermen die niet gelijksoortig zijn toch zouden worden opgeteld of afgetrokken!