De tweetermen x³-a³ en x³+a³ ontbinden in factoren

[Terug naar overzicht hoofdstuk]      [Oefening]

Ben je vergeten wat het juist betekent om een veelterm te ontbinden in factoren? Klik dan eerst hier!

We weten reeds dat x² – a² = (x–a).(x+a)

→ We onderzoeken nu of ook x³ – a³ te ontbinden valt in factoren.

→ Door gebruik te maken van de reststelling weten we dat D(x) = x³ – a³ deelbaar is door x – a, aangezien f(a) = a³ – a³ = 0. 

→ We passen de regel van Horner toe om het quotiënt te bepalen:

→ We vinden, zoals verwacht, dat de rest 0 is. Het quotiënt q(x) is gelijk aan x² + ax + a²    

→ De veelterm D(x) = x³ – a³ kan bijgevolg genoteerd worden als (x–a)(x²+ax+a²).

Voorbeeld:

We ontbinden x³ – 8 in factoren. Hierbij proberen we om zowel voor als na het minteken een derdemacht te bekomen. We stellen vast dat 8 geschreven kan worden als 2³. We herschrijven de opgave dus tot x³ - 2³. Door bovenstaande formule toe te passen vinden we dat  x³ – 2³ = (x–2) (x²+2x+4).

Op analoge wijze kunnen we nu afleiden dat ook x³ + a³ ontbonden kan worden. De deler in dit geval is x+a, want f(–a) = (–a)³ + a³ = –a³ + a³ = 0. Met de regel van Horner vinden we dat het quotiënt gelijk is aan x² – ax + a²

Voorbeeld:

Door bovenstaande formule correct toe te passen, vinden we dat x⁶ + 27 = (x²+3) (x⁴–3x²+9).

Vergeet niet om altijd eerst de gemeenschappelijke factoren af te zonderen!

Voorbeeld:

2x⁶ + 54 = 2(x⁶ + 27) = 2(x²+3) (x⁴–3x²+9)