De vergelijking van een cirkel opstellen
[Terug naar overzicht hoofdstuk] [Oefening 1] [Oefening 2]
> Vergelijking van een cirkel opstellen als straal en middelpunt gegeven zijn
Als van een cirkel het middelpunt M met coördinaat (x1,y1) en de straal r gekend zijn, kunnen we een vergelijking van de cirkel opstellen met de algemene formule:
(x–x1)² + (y–y1)² = r²
Deze vorm kunnen we omvormen naar de algemene vergelijking van de cirkel:
x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
Voorbeeld
We bepalen de algemene vergelijking van de cirkel met middelpunt (6,2) en straal 3
→ De coördinaat (x1,y1) = (6,2) en straal r = 3 worden ingevuld in de algemene hierboven aangeleerde formule: (x–6)² + (y–2)² = 3²
→ Vervolgens werken we verder uit en vinden we x² – 12x + 36 + y² – 4y + 4 = 9
→ Als we de ‘9’ naar het linkerlid overbrengen, vinden we volgende vergelijking:
x² – 12x + 36 + y² – 4y + 4 - 9 = 0
→ We werken nog verder uit en brengen x² + y² voorop:
x² + y² – 12x – 4y + 31 = 0
(dit is de algemene vergelijking van de cirkel)
> Middelpunt en straal van een cirkel bepalen als de vergelijking gegeven is
Een vergelijking van de vorm x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 is niet noodzakelijk een vergelijking van een cirkel! Om na te gaan of een vergelijking effectief deze van een cirkel is, rekenen we eerst de waarde van a² + b² – c uit. We onderscheiden hierbij drie situaties:
| a² + b² – c > 0 |
De vergelijking vormt een cirkel met M(–a, –b) |
| a² + b² – c = 0 | De vergelijking vormt een cirkel waarvan de straal 0 is |
| a² + b² – c < 0 | De vergelijking vormt geen cirkel |
Voorbeeld:
We gaan na of x² + y² – 8x – 12y + 3 = 0 de vergelijking voorstelt van een cirkel. Indien dit het geval is, bepalen we het middelpunt en de straal van deze cirkel.
→ We bepalen de waarde van a, b en c en vinden dat a = – 4 ; b = – 6 en c = 3
→ We berekenen vervolgens a² + b² – c: (–4)² + (–6)² – 3 = 16 + 36 – 3 = 49
→ Aangezien we het positieve getal 49 uitkomen, stelt de gegeven vergelijking wel degelijk deze van een cirkel voor.
→ De straal van de cirkel is bijgevolg gelijk aan de vierkantswortel van 49, dus 7.
→ De coördinaat van het middelpunt is gelijk aan (–a, –b) = (4,6)
Opmerking: Indien de vergelijking van de cirkel in de vorm x² + y² = r² staat, vinden we het middelpunt en de straal onmiddellijk! Cirkels met een vergelijking van deze vorm hebben steeds de oorsprong als middelpunt en r als straal.
Voorbeelden:
De cirkel met vergelijking ‘x² + y² = 9’ heeft de oorsprong (0,0) als middelpunt en straal 3
De cirkel met vergelijking ‘x² + y² = 16’ heeft de oorsprong (0,0) als middelpunt en straal 4