De regel van Horner: delen door x-a

 [Terug naar overzicht hoofdstuk]     [Oefening]

Deelbaarheid door x-a

Indien de deler van de vorm x – a is, waarbij a een reëel getal voorstelt, kunnen we naast de Euclidische deling ook gebruik maken van de regel van Horner. Belangrijk hierbij is te weten wanneer een deeltal D(x) deelbaar is door een deler d(x) van de vorm x – a.

Bij de Euclidische deling van een veelterm door x-a, waarbij a een reëel getal voorstelt, is de rest van de deling gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor x = a! Concreet betekent dit dat we, zonder de deling te maken, de rest van de deling vinden als we op de plaats van x de waarde van a invullen (= reststelling)

Voorbeeld:

We willen de rest bepalen van de deling van x⁴–2x³+5x-7 door x – 2 zonder deze deling effectief uit te voeren. We bekomen de rest van deze deling door op de plaats van x de waarde 2 in te vullen, aangezien a = 2 (we delen door x-a en in dit voorbeeld is dit x – 2).

Als we x vervangen door 2, vinden we 2⁴ – 2.2³ +5.2 – 7 = 16 – 16 + 10 – 7 = 3. De rest van de deling is bijgevolg gelijk aan 3!

Hieruit volgt dat een veelterm deelbaar is door x – a als en slechts als de getalwaarde voor x = a gelijk is aan 0!

De regel van Horner (algoritme van Horner of rekenschema van Horner)

Voorbeeld:

We willen met de regel van Horner het quotiënt en de rest bepalen van de deling van 5x⁵+8x⁴+7x²+4 door x – 2.

→ We noteren alle coëfficiënten van het deeltal in dalende volgorde der exponenten (en vullen nul in indien de term in een bepaalde exponent niet voorkomt).

→ Vervolgens noteren we, op de juiste plaats in het schema, de waarde van a (in dit geval 2)*

→ We laten de eerste coëfficiënt 'zakken' en vermenigvuldigen hem met a = 2. Het resultaat hiervan tellen we op met de tweede coëfficiënt die voorkomt in het schema. Dit resultaat vermenigvuldigen we opnieuw met 2,enz…

→ Achter de streep lezen we de rest af, namelijk 320. Voor de streep vinden we de coëfficiënten terug van het quotiënt. Aangezien de deler x – 2 van de eerste graad is en het deeltal van de vijfde graad, zal het quotiënt van de (vijfde-eerste) vierde graad zijn. We vinden als quotiënt 5x⁴+18x³+36x²+79x+158

→ We kunnen het verband noteren tussen deeltal, deler, quotiënt en rest:

      5x⁵+8x⁴+7x²+4 = (x – 2) . (5x⁴+18x³+36x²+79x+158) + 320

* Soms zal de deler in de vorm x-a zelf bepaald moeten worden. Hiervoor noteert men alle delers van de constante term en vult deze in op de plaats van a. Indien men (m.b.v. de reststelling) nul vindt als getalwaarde van de veelterm, is x-a een deler van de veelterm! Hieronder volgt een voorbeeld:

V(x) = x³ + 4x² – 3x – 18

→ We bepalen alle delers van de constante term 18.

     Dit zijn 1, –1,2, –2,3, –3,6, –6,9, –9,18 en –18.

→ We vullen elk van deze delers in op de plaats van x en bepalen zo de getalwaarde van de veelterm

→ Als we de getalwaarde van de veelterm bepalen voor x=2 krijgen we:            

2³ + 4.2² – 3.2 – 18 = 8 + 16 – 6 – 18 = 0

(dit betekent dat x - 2 een deler is van de veelterm en dat de waarde van a gelijk is aan 2!)

Aangezien de getalwaarde voor V(2) gelijk is aan nul, is x – 2 een deler van de gegeven veelterm V(x). Nu kunnen we de regel van Horner gebruiken:

Hieronder vind je een uitgewerkte oefening. Vink om te beginnen vakje nummer 1 aan, nadien vakje nummer 2 enzovoort...