Breuken en decimale vormen

[Terug naar overzicht hoofdstuk]        [Oefening 1]     [Oefening 2]    [Oefening 3]                 

Rationale getallen

Definitie: Een rationaal getal is een quotiënt (een verhouding) van twee gehele getallen, waarvan het tweede getal verschillend is van nul.

In decimale vorm kan een rationaal getal een aantal cijfers na de komma bevatten, maar er zal steeds een periode - een terugkerend gedeelte - zijn.

Hieronder bespreken we hoe je een breuk kan omzetten in een decimale vorm én omgekeerd. Uiteraard kan je ook altijd een rekentoestel gebruiken.

Breuken omzetten naar decimale vorm (kommagetal)

> Breuken met een begrensde decimale vorm

Elke onvereenvoudigbare breuk die herleid kan worden tot een breuk waarvan de noemer een macht is van 10, heeft een begrensde decimale vorm.

Een begrensde decimale schrijfwijze noemen we ook wel een decimaal getal. Let er dus voor op dat je de benamingen 'decimale vorm' en 'decimaal getal' niet door elkaar gebruikt.

> Breuken met een onbegrensde decimale vorm

Elke onvereenvoudigbare breuk die niet herleid kan worden tot een breuk waarvan de noemer een macht is van 10, heeft een repeterende decimale vorm.

Voorbeelden:

Bij een repeterende decimale vorm volgt (al dan niet onmiddellijk na de komma) een getal dat zich herhaalt. Dit getal wordt de periode genoemd.

Repeterende decimale vormen waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint, noemen we zuiver repeterend decimale vormen. Zo is 0,1717... een zuiver repeterend decimale vorm met periode 17.

Repeterende decimale vormen waarbij een niet-repeterend deel voorkomt, noemen we gemengd repeterend decimale vormen. Zo is 1,388... een gemengd repeterende decimale vorm met periode 8 en niet-repeterend deel 3.

> Breuken waarvan de noemer een getal is dat geschreven wordt met uitsluitend het cijfer 9

Breuken waarvan de noemer een getal is dat geschreven wordt met uitsluitend het cijfer 9 én waarvan de noemer kleiner is dan de teller, hebben een merkwaardige decimale vorm.

Voorbeelden:

Een breuk waarvan de noemer 9,99,999,9999,... is en waarvan de teller kleiner is dan de noemer, heeft een repeterende decimale schrijfwijze. De periode bestaat uit evenveel cijfers als de noemer van de breuk en is gelijk aan de teller, eventueel voorafgegaan door een aantal nullen.

Besluit: Elke breuk heeft een decimale schrijfwijze die begrensd is of onbegrensd repeterend!

Decimale vormen (kommagetallen) omzetten naar breuk

Om een decimale vorm om te zetten in breukvorm gaan we eerst na met welk soort decimale vorm we te maken hebben: een begrensd decimale vorm, een zuiver repterend decimale vorm of een gemengd repeterend decimale vorm. Elk van deze drie vormen heeft immers een aparte werkwijze.

> Van een decimaal getal naar een breuk

Voorbeeld: We schrijven 6,018 als breuk

• Als teller nemen we het natuurlijk getal gevormd door de cijfers van het decimaal getal, dus 6018
• We nemen vervolgens 1 als noemer en voegen er zoveen nullen aan toe als er staan na de komma in het decimaal getal. Aangezien er drie cijfers staan na de komma, voegen we bij de 1 dus drie nullen toe.

 > Van een zuiver repeterende decimale vorm naar een breuk

Omdat in een repeterende decimale vorm oneindig veel cijfers voorkomen na de komma, is het onmogelijk om er nauwkeurig bewerkingen mee uit te voeren! Dit kan echter wel wanneer we deze decimale vormen schrijven als breuken.

Om te beginnen bekijken we hoe een repeterende decimale vorm, met een absolute waarde kleiner dan 1, kan omgezet worden in breukvorm.

Voorbeeld: We schrijven 0,1717... als breuk

• We nemen de teller als periode, in dit voorbeeld dus 17
• Als noemer nemen we het natuurlijk getal gevormd door zoveel cijfers ‘9’ als er staan in de periode. Aangezien de periode in ons voorbeeld gelijk is aan 17 nemen we dus twee cijfers ‘9’ in de noemer (ofwel 99)

Uit bovenstaande werkwijze kunnen we een methode afleiden voor het omzetten van een zuiver repterende decimale vorm waarvan de absolute waarde groter is dan 1, naar een breuk.

Voorbeeld: We schrijven 6,1717... als breuk

• We splitsen het getal in een som zo dat de eerste term het getal is voor de komma en de tweede term een zuiver repeterende decimale vorm waarvan de absolute waarde kleiner is dan 1.

 > Van een gemengd repeterende decimale vorm naar een breuk

Bekijk in onderstaand filmpje hoe je een decimale vorm omzet in breuk.

In een volgende fase zullen we kennismaken met irrationale getallen. Dit zijn decimale vormen die geen periode bevatten en bijgevolg niet als breuk geschreven kunnen worden.